BEPC 2022 Mathématiques : sujet et corrigé commenté

Partie A : évaluation des ressources (10 points)

Activités numériques (5 points)

Exercice 1 (2 points)

1. Calculer le nombre $A = \dfrac23 \times \dfrac65 + \left(\dfrac23 + \dfrac65\right)$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. 0,75 pt
2. On donne le nombre $B = \dfrac{2}{2 - \sqrt3}$.
   1. Écrire le nombre $B$ sans radical au dénominateur. 0,5 pt
   2. Sachant que $1{,}732 < \sqrt3 < 1{,}733$, donner un encadrement d'ordre 2 de $4 + 2\sqrt3$. 0,75 pt

Exercice 2 (1,25 point)
On considère l'expression $C = 4x^2 - 9 - (2x - 3)(3x - 4) + (2x + 1)(2x - 3)$.

1. Écrire $C$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré. 0,75 pt
2. Déterminer les solutions dans $\mathbb R$ de l'équation $(x + 8)(2x - 3) = 0$. 0,5 pt

Exercice 3 (1,75 point)
Le tableau statistique ci-dessous est celui des notes en mathématiques de 50 élèves d'une classe de troisième. Ces notes sont regroupées en classes d'amplitude 5.

1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessus. 1 pt
2. Donner la classe modale de cette série statistique. 0,25 pt
3. Choisir et recopier la bonne réponse. La moyenne des notes en mathématiques de cette classe est : a) 8 ; b) 8,5 ; c) 9 ; d) 9,5. 0,5 pt

Activités géométriques (5 points)

Exercice 1 (2,25 points)

La figure ci-dessus représente un terrain ayant la forme d'un trapèze $ABCD$ rectangle en $A$ et $D$. On suppose que $AB = 50$ m, $AD = 40$ m et que l'aire du terrain est égale à $2\,600\ m^2$.

1. 1. Montrer que $DC = 80$ m. 0,5 pt
   2. En déduire que $HC = 30$ m. 0,25 pt
2. Calculer $BC$. 0,75 pt
3. Calculer $\tan\widehat{DCB}$ et en déduire l'arrondi de la mesure de l'angle $\widehat{DCB}$ à 1° près. 0,5 pt
4. Donner l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BH}$. 0,25 pt

Exercice 2 (2,75 points)
Dans la figure ci-dessous, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;I,J)$ dans lequel sont représentés les points $A(-1\,;1)$, $B(-3\,;3)$ et $C(1\,;3)$ ainsi que les droites $(D_1)$, $(D_2)$ et $(D_3)$. Les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ se coupent en $A$ ; $(D_3)$ coupe $(D_2)$ en $B$ et $(D_1)$ en $C$.

1. 1. Déterminer par lecture graphique les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis montrer que ces vecteurs sont orthogonaux. 0,75 pt
   2. Déterminer les distances $AB$ et $AC$. 0,5 pt
   3. En déduire la nature exacte du triangle $ABC$. 0,25 pt
2. Associer chaque droite à son équation cartésienne en inscrivant son nom dans la case correspondante. 0,75 pt

   Équation cartésienne	$y = 3$	$y = x + 2$	$y = -x$
   Droite

3. Reproduire la figure ci-dessus et y représenter, en hachurant, l'ensemble solution du système $\begin{cases} x - y + 2 > 0 \\ x + y < 0 \end{cases}$ 0,5 pt

Partie B : évaluation des compétences (10 points)

Situation

Une société de travaux publics est chargée de réaliser des travaux de construction d'une route. Pour le ravitaillement en carburant, elle utilise un camion dont la citerne a la forme d'un cylindre de hauteur $AB = 8$ m ayant une demi-sphère de rayon $EF = 1$ m sur chacune de ses bases (figure 1). Le contenu de cette citerne pleine est déversé à chaque voyage dans des cuves de 1 000 litres chacune.

L'eau destinée aux travaux de maçonnerie est contenue dans un réservoir ayant la forme d'un cylindre de hauteur $H = 2{,}5$ m et de rayon de base $OA = 1$ m, ayant un cône de révolution de hauteur $h = 1{,}5$ m sur une de ses bases (figure 2) ; cette eau est mesurée dans des seaux de 10 litres.

Certains maçons sont chargés de fabriquer des bornes kilométriques ayant la forme d'un pavé droit de dimensions $20\ cm \times 40\ cm \times 50\ cm$, surmonté d'un demi-cylindre de hauteur 20 cm et de rayon 20 cm (figure 3), en utilisant une quantité journalière de $1\ m^3$ de béton.

Tâches

1. Calculer le nombre maximum de cuves de carburant pleines que l'on peut remplir en un voyage du camion-citerne. 3 pts
2. Calculer le nombre maximum de seaux d'eau pleins que l'on peut remplir avec le contenu d'un réservoir plein. 3 pts
3. Calculer le nombre maximum de bornes kilométriques que l'on peut fabriquer avec la quantité journalière de béton. 3 pts

Prendre $\pi = 3{,}14$. Présentation 1 pt

Source : MINESEC, Direction des examens, des concours et de la certification (DECC), session 2022. Énoncé retapé par NCC Académie.